نظرتنا إلى علم الرياضيات..

من المفاهيم كثيرة الشيوع والجدال بين الناس !!! الرياضيات !!!. فمن الناس من يعشق هذا المصطلح ويعتبره كالماء والهواء والذي لا غنى عنه في الحياة اليومية والعملية ومنهم من يرى أن هذا العلم تجريدي ولا فائدة منه في الحياة العملية واليومية ولا تطبيقات ملموسة له ، فأنت مع من يا ُترى؟؟؟
لنبدأ الآن بالسؤال الأول وهو – ما هي الرياضيات؟ ولعل إحدى الإجابات البسيطة هي التعريف التالي:

(الرياضيات علم تجريدي من إبداع العقل البشري وليس من الظواهر الطبيعية التي لوحظت في الطبيعة مثل الفيزياء أو العلوم الحياتية أو علوم الأرض.)

أما السؤال الثاني فهو:- كيف يمكن النظر للرياضيات؟

فهناك الكثير من يقول بأنه يمكن النظر للرياضيات على أنها:

1- نمط في التفكير, فهي تنظم البراهين المنطقية ووضع الفرضيات وتقرير نسبة صحتها.

2-لغة تستخدم رموز وتعابير محددة , وتعتمد على التسلسل في الأفكار , وما تتضمنه من أعداد وأشكال و رموز.

3- لغة العقل.

4-فن وذوق.



أما السؤال الثالث فهو:- هل يعد علم الرياضيات علماً هاماً؟
فأود أن أبين هنا ما قاله الكثير عن أن علم الرياضيات يعد من أهم العلوم الحية، فلقد أجمع كثير من العلماء العظماء أن أساس العلوم هو الرياضيات، فلولا الرياضيات لما توصل انشتاين الى نظريته المشهورة (النظرية النسبية) , ولولا الرياضيات لما توصل نيوتن الى قوانينه في السرعة , ولولا الرياضيات لما وضع العلماء اكبر المعادلات الكيميائية الموزونة، ولولا ولولا.....

لننسى للحظة الآن تطبيقات الرياضيات وعلاقتها بالعلوم الأخرى، ولنحاول أن نجيب على السؤال الرابع وهو:- أين إستخدامات الرياضيات في الحياة اليومية؟

أنا لن أطيل عليكم في الإجابة على هذا السؤال لانه لا يمكن حصر إستخدامات الرياضيات في الحياة اليومية بل أسرد بعضاً منها لا سبيل الحصر:

• هل يمكن ان تدخل لمتجر دون أن تستخدم الأرقام.
• هل يمكن ان تستخدم اي لعبة ترفيهية دون استخدام الأرقام.
• هل يمكن ان تنظم الصلوات دون استخدام الأرقام , ومعرفة ما بقي من وقت للصلاة التالية.
• هل يمكن ان تمارس اية رياضة دون ان تستخدم الأرقام لتعلم ما إذا كنت فائزاً او خاسراً.
• هل يمكن أن تطبق تعاليم دينك دون ان تستخدم الأرقام في توزيع الميراث أو احصاء بداية شهر الصيام او مقدار ما يترتب عليك من زكاة.
• هل يمكن أن تقوم بأداء عملك دون استخدام الأرقام إن كنت مدرساً فتحصي علامات طلابك , او طبيباً فتقدر كمية الدواء للمريض , او مهندساً فتقدر كمية المواد الخام التي يجب إضافتهالإتمام العمل , او حتى قائد في معركة فتقدر عدد العدو و كيفية الوصول للهدف باقل الخسائر.
• وهل...وهل....فمهما حاولت فلن تستطيع التخلص من استخدام هذا العلم المهم.

إن السؤال الذي يجول بخاطر الكثير من الناس هو:- لماذا يكمن ضعف كثير من الطلبة في علم الرياضيات؟

قد يجاب على هذا السؤال ببساطة بأنه يكمن ضعف كثير من الطلبة في علم الرياضيات بسبب ذاك الوسواس الذي يعشش في عقولهم بأنهم لن يستطيعوا فهم هذا العلم, وقد تجاهلوا أن أذكى العلماء في هذا العلم تدرجوا في الدراسة من الجمع والطرح ثم الضرب والقسمة حتى وصلوا لما هم فيه.

 

بعض الكتب المتعلقة بالرياضيات:

Title : A Radical Approach to Real Analysis
BY: David Bressoud
Publisher : The Mathematical Association of America
Edition: Second Edition
Year: 2007.

روابط التحميل :
http://ifile.it/fu5aeci
http://www.mediafire.com/?tmlp0iqjulr

وهذه صفحة للموارد الخاصة بالكتاب : https://enterprise.maa.org/ecomtpro/timssnet/common/tnt_frontpage.cfm

مؤلف الكتاب يسلك مسلكاً تأريخياً في عرض التحليل الحقيقي . لدى المؤلف وجهة نظر معينة وهي أن تعليم التحليل الحقيقي بالشكل الذي تطور فيه تأريخياً أنجع في التدريس من الطريقة العادية التي تعرضه الحقيقي بالشكل الموضوعي ، وسبب ذلك كما يراه هو أن الطريقة العادية لا تطور لدى المتلقي الفهم والإحساس (intution) بما يقرأه من براهين ونظريات بينما العرض التأريخي المتدرج يساهم في تطوير هذا الإحساس الرياضي ويجعله يفهم كيف تطورت هذه الأفكار رويداً رويداً .. وأنها لم تهبط فجأة ببرشوت . مثلاً كوشي كان يعاني من صعوبة في برهنة نظرية القيمة المتوسطة Mean Value Theorem وصياغة التقارب المنتظم Uniform Convergence ، وإن تعريف النهاية باستخدام لم تكتمل صياغته إلا على يد ويرستراس Wierstrass في القرن التاسع عشر بعد قرنين من ظهور علم التفاضل على يد نيوتن ! ، مما يدل على أن تلك الأفكار ليست بتلك البداهة ..
لذا فالكتاب يهدف إلى معالجة كل هذه القضايا الشائكة .. فمن يشعر بعدم الراحة في فهمه للتقارب .. أو النهاية أو ما يعنيه متناه في الصغر infinitesimally small فليقرأ هذا الكتاب .
الكتاب قد يفيد صنفين من القراء ، الأول هو من يريد تعلم التحليل الحقيقي من الصفر، حيث أن الكتاب مصمم لشخص لا خلفية لديه في هذه المجال .. والثاني هو من لديه فضول لكي يعرف كيف تطورت هذه المفاهيم الرياضية تأريخياً ولكي يرسخ فهمها في نفسه .

يبدأ الكتاب بعرض متسلسات فورييه في فصله الأول . إن هذه المتسلسلات التي فكر بها فورييه فجرت جدلاً كبيراً في الوسط الرياضي ، إذا كيف لدالة غير متصلة أن تحوي عند نشرها مجموعاً لا نهائياً لدوال متصلة وسلسة smooth ؟؟
في الفصل الثاني يتحدث عن المتسلسلات اللانهائية ودورها في تطوير التحليل ، ومن ثم يعرج على الإتصال والاشتقاق .. وفي الفصل الرابع يتكلم عن تقارب المتسلسلات اللانهائية وفي الفصل الخامس عن فهمها وعن التقارب المنتظم .. وفي الفصل الأخير يعود لمتسلسلات فورييه وتكامل ريمان التي بدأ بها ليجمع كل الأفكار ويوضحها .

Title : Contemporary Abstract Algebra
By : Joseph Gallian
Publisher : D.C. Heath and Company
Edition : Second Edition
Year :1990

 

روابط التحميل :
http://ifile.it/78lqj3g/0669194964.rar
http://rapidshare.com/files/126176345/0669194964.djvu

يعتبر هذا الكتاب من أفضل الكتب العالمية في عرض الجبر المجرد ، حيث يعرض المادة بشكل مقسم و مفصل للمفاهيم ،إضافة إلى أن لغة الكتاب لغة المخاطبة مع القارىء ، حيث أنك تشعر خلال قراءتك له بأنك تحادث شخصاً ما بإسلوب شيق جداً .

الأفكار داخل الكتاب مرتبة بشكل رائع جداً بحيث يكون ملماً بما يحتاجه القارىء من معلومات عن الجبر المجرد كمرحلة بدائية ، بل يحوي على معلومات إضافية و طرق إثباتات لا تنتواجد في كثير من الكتب المتقدمة في الجبر ، أي يبني لديك حصيلة جبرية ممتازة لتكون قادراً على قراءة أي كتاب جبري متقدم .

خلال قراءتك له ستجد مقتبسات تاريخية عن العلماء و مقولات رياضية مما تزيد في همتك في قراءته ، إضافة إلى أنه يبين المصطلح المستخدم من أين أتى ، فمثلاً مصطلح مركز الزمرة ، لم نستخدم له الرمز بل استخدم رمز ، يحث يبين أن هذا الرمز أتى من الكلمة اللاتينية Zentrum التي تعني Center و قس عليها.

و من أجمل الأمور الذي يميز هذا الكتاب عن غيره من الكتب أنه يحوي على معلومات جميلة لتطبيقات الجبر المجرد في الأقسام المختلفة مع تبيانها و كيفية عملها ، مثل تطبقيه في Credit Codes عند الشراء من مواقع الإنترنت مثل Amazon ناهيك على احتوائه العديد من الأسئلة و التمارين الجميلة إضافة إلى وجود أسئلة متعلقة بإستخدام الكمبيوتر بواسطة GPA .

أشير إلى الطبعة التي صدرت حالياً هي السابعة ، و لكن يبقى مضمون المادة و طريقة عرضها نفسها مع إضافة التمارين سواءً المتعلقة بإستخدام الكمبيوتر أو الأسئلة الإعتيادية .

تجد كل ما يتعلق بكل طبعة من خلال الموقع للمؤلف جوزف مع توضيح ماهية GPA و أين يمكنك تحمليه و استخدامه في حل المسائل .و تجد أيضاً مواقع لتقرأ منها و غيرها من الأوراق المقترحة .

Title :Linear Algebra Done Right
BY: Sheldon Axler
Publisher : Springer
Edition: Second Edition
Year: 1997

روابط التحميل :
http://rapidshare.com/files/35190050/linear.algebra.done.right.axler.zip
http://ifile.it/negqlwo

وهذه صفحة للموارد الخاصة بالكتاب : http://linear.axler.net/

هذا الكتاب مفيد جداً لمن يريد أن يفهم الجبر الخطي وتعاريفه ونظرياته بشكل عميق . لذا إن كنت تبحث عن كتاب يشرح المصفوفات وجبرها وكيفية إيجاد رتبة المصفوفة أو كيفية حساب القيم الذاتية eigenvalues .. إلخ فإن هذا الكتاب على الأرجح لن يفيدك .

لكن ما يتميز به هذا الكتاب عن غيره هو أنه لا يستخدم المحددات determinants إطلاقاً . معظم من درس الجبر الخطي بدأ بتعريف المحدد .. ولكن كيف جاء المحدد ؟ ولماذا يستخدم ؟ .. قد لا يوجد جواب واضح في الذهن .. وبما أن المحدد يستخدم بكثافة في الجبر الخطي فإن هذا يؤثر على فهم الجبر الخطي بشكل عام .
أبسط مثال هو عن وجود القيم الذاتية للمصفوفة .. لماذا توجد ؟ .. في العرض الاعتيادي للجبر الخطي فإن القيم الذاتية تحسب من خلال المحدد فلا يحصل المتلقي على انطباع كاف عن سبب وجود القيم الذاتية ..
لذا فإن مؤلف الكتاب قام بتطوير نظريات وبراهين الجبر الخطي كاملة دون تعريف المحدد أصلاً ، وهذا المسلك مفيد جداً لفهم الجبر الخطي على حقيقته .. على أنه دراسة فضاءات المتجهات المنتهية البعد والمؤثر التي فيما بينها .

لغة الكتاب جيدة وسهلة وتطور الإحساس بما يعرض للمتلقي . لا يوجد متطلب سابق لقراءة الكتاب سوى شيء من النضج الرياضي لفهم الأسلوب المجرد في عرض الرياضيات . يسرد مؤلف الكتاب في الرابط أعلاه قائمة 234 جامعة حول العالم اعتمدت الكتاب لتدريس الجبر الخطي .

يبدأ الكاتب في الفصل الأول بتعريف فضاء المتجهات وفي الفصل الثاني بالتحدث عن فضاءات المتجهات منتهية البعد بمفاهيم كالأساس basis والتوليد span والاستقلال الخطي . الفصل الثالث عن التطبيقات الخطية linear maps ، والخامس عن الحدوديات . الفصل السادس عن القيم والمتجهات الذاتية والفصل السابع عن فضاءات الجداء الداخلي inner product spaces . الفصل السابع والثامن والتاسع يتحدث عن المؤثرات على فضاء الجداء الداخلي وفضاءات المتجهات المركبة والحقيقية .
في الفصل العاشر يعرف الكاتب المحدد لأول مرة على أنه حاصل ضرب القيم الذاتية .. !

Title :Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (Classroom Resource Materials)
BY: Roger B. Nelsen
Publisher : The Mathematical Association of America

روابط التحميل :
http://ifile.it/hco0q38
http://rapidshare.com/files/144170987/prfwithout.djvu.html

هذا الكتاب الأول للمؤلف نيلسن الذي يعرض البراهين الرياضية بدون كلمات ، حيث أنه يبين خطوات اثبات البرهان عن طريق الصور للأشكال الهندسية المختلفة ، وقد يتعدد إثبات بعض النظريات بأكثر من طريقة .

يحوي الكتاب على عدد من النظريات الجبرية و الهندسية و على إثباتات بعض المتباينات و مجموع الأعداد الصحيحة وفق بعض القواعد و على المتتاليات و المتسلسات .

الكتاب ممتع جداً و يحوي على العديد من الصور الجميلة لفهم البراهين ، بحيث أنه يوفر المناخ الملائم لتدلي بدلوك في إثبات خاص بك بدون استخدام الكلمات سواء في النظريات المذكورة أو النظريات غير المذكورة .

أضواء علي الشهري